第一次数学危机李永乐（第一次数学危机）

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1、人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。

2、其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

3、如果追溯这一危机的来龙去脉，那么就需要我们把目光投向公元前6世纪的古希腊。

4、那时，在数学界占统治地位的是毕达哥拉斯学派。

5、这一学派的创立者毕达哥拉斯是著名的哲学家、数学家。

6、他在哲学上提出“万物皆数”的论断，并认为宇宙的本质在于“数的和谐”。

7、他所谓“数的和谐”是指：一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比。

8、与此相对应，在数学中他提出任意两条线段的比都可表为整数或整数的比，用他的话说就是：任意两条线段都是可通约的。

9、他在数学上最重要的功绩是提出并证明了毕达哥拉斯定理，即我们所说的勾股定理。

10、然而深具讽刺意味的是，正是他在数学上的这一最重要发现，却把他推向了两难的尴尬境地。

11、他的一个学生希帕索斯在摆弄老师的著名成果毕达哥拉斯定理时，提出了这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？换句话说，两者的比是不是有理数呢？经过认真的思考，他发现这个数既不是整数，也不是一个分数，而是一个全新的数，我们现在知道这个数是 。

12、这是人类历史上诞生的第一个无理数。

13、它的诞生是人类对数认识的一次重大飞跃，是数学史上的伟大发现。

14、然而作为老师的毕达哥拉斯并没有为这一重大发现而欢欣鼓舞，相反他陷入极度不安之中。

15、如果不赞同它，理智上无法接受，学生的论断毕竟是找不出毛病的呀！可是如果赞同，感情上更难接受。

16、因为这一发现对他来说是致命的，它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。

17、于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”。

18、在这两难处境下，他先是在学派内封锁这一发现，不让它传到外界。

19、后来当希帕索斯本人把发现泄漏后，他让学派内的成员把希帕索斯抛入了大海。

20、这就是聪明的学生从伟大的老师那里获得的“奖赏”！被后人尊为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误，而是想通过暴力压制真理，这一作法令他一生蒙羞，成为他一生中的最大污点。

21、然而真理毕竟是扑不灭的，希帕索斯所提出的问题（史称“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”）也没有随同主人一起抛入大海，而是在社会上流传开来。

22、其实，这一悖论的提出不但对毕达哥拉斯学派是致命的，它对当时所有人的观念都是一个极大的冲击。

23、当时人们根据经验完全确信：一切量都可以用有理数表示。

24、即便是在现在测量技术已经高度发展后，任何量在任何精确度范围内都可以表成有理数不仍是正确的吗？然而这一完全符合常识的论断居然被 的存在而推翻了！这是多么违反常识、多么荒谬的事呀！更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

25、这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而产生了数学上的第一次危机。

26、直到二百年后，数学家欧多克索斯建立了一套完整的比例论，使比例论不仅适用于可通约线段，也适用于不可通约线段，才用几何方法把由于无理数的出现而引起的数学危机解决了。

27、这次数学危机对希腊数学产生了决定性的影响。

28、首先，希腊人得出直觉、经验都不是绝对可靠的，推理论明才是可靠的，因而希腊人此后更加重视逻辑，并在亚里士多德手中完成了古典逻辑学。

29、其次，由于整数及其比不能包括一切几何量，但几何量却可以表示一切数，因此希腊人认为几何较之算术占着更重要的地位。

30、在其后的希腊数学中，这种几何对算术的优势支配了希腊数学一千年。

31、希帕索斯的发现导致了第一次数学危机，然而为了解决这一危机，却又导致了古希腊古典逻辑学与公理几何学的诞生。

32、这恐怕正是这一事件给予我们的一大启示：提出似乎无法解答的问题并不可怕，相反，这种问题的提出往往会成为数学发展中的强大推动力，使数学在对问题的克服中向前大步迈进，这在数学发展史上实在是不鲜见的。

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