正多面体顶点棱数和面数关系（正多面体）

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1、设正多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F(面数)与n的积的一半，即 Nf=2E -------------- 1式 同时，E应是V(顶点数)与M的积的一半，即 mV=2E -------------- 2式 由1式、2式，得 F=2E/n, V=2E/m, 代入欧拉公式 V+F-E=2， 有 2E/m+2E/n-E=2 整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E. 由于E是正整数，所以1/E>0。

2、因此 1/m+1/n>1/2 -------------- 3式 3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。

3、另一方面，由于m和n的意义(正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数)知，m>=3且n>=3。

4、因此m和n至少有一个等于3 当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5 同理n=3，m也只能是3，4，5 所以 n m 类型 3 3 正四面体 4 3 正六面体 3 4 正八面体 5 3 正十二面体 3 5 正二十面体 由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体 所以正多面体只有5种。

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