什么是有理数和无理数的定义（什么是有理数和无理数）

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1、无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.141592653...而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数 包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

2、这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。

3、数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。

4、希腊文称为 λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。

5、不是有理数的实数遂称为无理数。

6、 所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。

7、有理数分为整数和分数整数又分为正整数、负整数和0分数又分为正分数、负分数正整数和0又被称为自然数如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

8、有理数还可以划分为正整数、负整数、正分数、负分数和0。

9、全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

10、有理数集是实数集的子集。

11、相关的内容见数系的扩张。

12、有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算(0作除数除外)，而且对于这些运算，以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数):①加法的交换律 a+b=b+a;②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;③存在数0，使 0+a=a+0=a;④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0;⑤乘法的交换律 ab=ba;⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a;⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

13、⑩0a=0 文字解释:一个数乘0还等于这个数。

14、此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。

15、有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。

16、由此不难推知，不存在最大的有理数。

17、值得一提的是有理数的名称。

18、“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。

19、事实上，这似乎是一个翻译上的失误。

20、有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。

21、中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。

22、但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同)。

23、所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。

24、与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

25、 有理数加减混合运算1.理数加减统一成加法的意义:对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。

26、2.有理数加减混合运算的方法和步骤:(1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

27、(2)运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

28、有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。

29、一般情况下，有理数是这样分类的:整数、分数;正数、负数和零;负有理数，非负有理数 整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。

30、我们日常经常使用有理数的。

31、比如多少钱，多少斤等。

32、 凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。

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