导读 今天小编岚岚来为大家解答以上的问题。有关柯西不等式的题目,有关柯西不等式相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、柯西不等...

今天小编岚岚来为大家解答以上的问题。有关柯西不等式的题目,有关柯西不等式相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

2、但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

3、 柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

4、 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

5、 二维形式   (a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2   等号成立条件:ad=bc 三角形式   √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]   等号成立条件:ad=bc   注:“√”表示平方根, 向量形式   |α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)   等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。

6、 一般形式   (∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2   等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。

7、   上述不等式等同于图片中的不等式。

8、 推广形式   (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n   注:“Πx”表示x1,x2,…,xn的乘积,其余同理。

9、此推广形式又称卡尔松不等式,其表述是:在m*n矩阵中,各行元素之和的几何平均   不小于各列元素之和的几何平均之积。

10、(应为之积的几何平均之和) 柯西不等式的证明及应用(河西学院数学系01(2)班 甘肃张掖 734000)摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

11、本文在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的应用方面给出几个例子。

12、关键词:柯西不等式 证明 应用 中图分类号: O178 Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several ***.keyword:inequation prove application柯西(Cauchy)不等式 等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证明介绍如下:证明1:构造二次函数 = 恒成立即当且仅当 即时等号成立证明(2)数学归纳法 (1)当时 左式= 右式=显然 左式=右式当 时, 右式 右式 仅当即 即时等号成立故时 不等式成立 (2)假设时,不等式成立即 当 ,k为常数, 或时等号成立设 则 当 ,k为常数, 或时等号成立即 时不等式成立综合(1)(2)可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题:1) 证明相关命题例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

13、 已知点及直线 设点p是直线上的任意一点, 则 (1) (2)点两点间的距离就是点到直线的距离,求(2)式有最小值,有由(1)(2)得: 即 (3)当且仅当 (3)式取等号 即点到直线的距离公式即2) 证明不等式例2 已知正数满足 证明 证明:利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2,再加上得:故3) 解三角形的相关问题例3 设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明证明:由柯西不等式得,记为的面积,则故不等式成立。

14、4) 求最值例4已知实数满足, 试求的最值 解:由柯西不等式得,有即由条件可得, 解得,当且仅当 时等号成立,代入时, 时 5)利用柯西不等式解方程例5.在实数集内解方程解:由柯西不等式,得 ① 又即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得它与联立,可得 6)用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》〉一书中,在线性回归中,有样本相关系数,并指出且越接近于1,相关程度越大,越接近于0,则相关程度越小。

15、现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。

16、现记,,则,,由柯西不等式有,当时,此时,,为常数。

17、点 均在直线上,当时,即而为常数。

18、此时,此时,,为常数点均在直线附近,所以越接近于1,相关程度越大当时,不具备上述特征,从而,找不到合适的常数,使得点都在直线附近。

19、所以,越接近于0,则相关程度越小。

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