等比数列的公式

【等比数列的公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。等比数列在现实生活中有着广泛的应用，例如金融中的复利计算、生物学中的细胞分裂、计算机科学中的算法分析等。

为了更清晰地理解等比数列的相关公式，以下是对等比数列的基本概念和常用公式的总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。

一、基本概念

- 首项（a₁）：数列的第一个数。

- 公比（r）：后一项与前一项的比值，即 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $。

- 第n项（aₙ）：数列的第n个元素。

- 前n项和（Sₙ）：从第一项到第n项的总和。

二、等比数列的公式总结

三、实例说明

假设一个等比数列为：2, 6, 18, 54, 162

其中，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $

- 第5项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

- 前5项和：$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 242 $

四、注意事项

- 如果公比 $ r = 1 $，则数列为常数列，各项都等于首项。

- 当 $ r < 1 $ 时，无穷等比数列的和是有限的；否则，数列发散，无法求和。

- 在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的公式进行计算。

通过以上内容的整理，我们可以更系统地掌握等比数列的公式及其应用方法，有助于提高解题效率和数学思维能力。

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