等比数列求和公式怎么推导

【等比数列求和公式怎么推导】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值为常数，称为公比。在实际应用中，我们经常需要计算等比数列的前n项和。本文将详细总结等比数列求和公式的推导过程，并以表格形式展示关键步骤。

一、等比数列的基本概念

二、等比数列求和公式的推导过程

设等比数列的前n项和为：

$$

S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

$$

步骤1：写出原式

$$

S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

$$

步骤2：两边同时乘以公比 $ r $

$$

rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n

$$

步骤3：用原式减去乘以r后的式子

$$

S_n - rS_n = (a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + \cdots + ar^n)

$$

左边化简为：

$$

S_n(1 - r)

$$

右边化简为：

$$

a - ar^n

$$

因此：

$$

S_n(1 - r) = a(1 - r^n)

$$

步骤4：解出 $ S_n $

$$

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

三、特殊情况说明

当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，每一项都是 $ a $，所以前n项和为：

$$

S_n = a \times n

$$

四、公式总结表

五、示例验证

例如：等比数列 $ 2, 6, 18, 54 $，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前4项和。

根据公式：

$$

S_4 = \frac{2(1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 81)}{-2} = \frac{2(-80)}{-2} = 80

$$

手动相加：$ 2 + 6 + 18 + 54 = 80 $，结果一致。

通过以上推导和验证，我们可以清晰地理解等比数列求和公式的来源及其应用方法。该公式在数学、金融、物理等多个领域都有广泛应用。

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